Домой Сбербанк В июле планируется взять кредит в банке, на сколько лет был взят кредит . Задачи для самостоятельного решения

Сбербанк

В июле планируется взять кредит в банке, на сколько лет был взят кредит . Задачи для самостоятельного решения

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей?

Решение

В январе долг стал равен 16*1,25 = 20 млн. руб.

Пусть X (млн. руб.) - составил 1 платеж.

Тогда в июле после 1 платежа долг стал равен (20-X) млн. руб.

Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то эта величина равна 16 - (20-X) = (X-4) млн. руб.

Пусть кредит был взят на n лет.

Тогда в n-ый год в январе долг будет равен

$(16 - (n-1)\cdot(X-4))\cdot1,25 $ млн. руб.

В июле n-го года долг равен 16-n(X-4).

$(16 - (n-1)\cdot(X-4))\cdot1,25 - (16-n(X-4)). $

В 1 год платеж был равен X млн. руб.

$(16 - X+4)\cdot 1,25 - 16 + 2X-8 = 1+0,75X.$

$(16 - 2X+8)\cdot 1,25 - 16+3 \cdot(X-4) = 2+0,5X.$

Имеем арифметическую прогрессию, разность которой равна

1+0,75X-X = 1-0,25X,

а первый член прогрессии равен X.

Так как общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей, то получаем по формуле для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{2X+(1-0,25X)\cdot (n-1)}{2}\cdot n = 40,$$

$$(2X+(1-0,25X)\cdot (n-1))n = 80.$$

Так как n-ый платеж является последним, то получаем уравение:

$$16-n(X-4) = 0,$$

Откуда получаем, что

$$n = \frac{16}{X-4}.$$

Подставляем в предыдущее уравнение (формула суммы n первых членов арифметической прогрессии):

$$(2X+(1-0,25X)\cdot (\frac{16}{X-4}-1))\cdot\frac{16}{X-4} = 80.$$

$$16\cdot (2X(X-4)+(1-0,25X)\cdot 16 -(1-0,25X)\cdot (X-4)) = 80 \cdot (X-4)^2, $$

$$2x^2 - 8X+16-4X-X+4+0,25X^2-X = 5 \cdot (X^2 - 8X+16),$$

$$2,25X^2-14X+20 = 5\cdot (X^2 - 8X+16), $$

$$9X^2-56X+80 = 20 X^2 - 160 X+320, $$

$$11X^2-104X+240 = 0,$$

$$X_1 = 4,~X_2 = 60/11.$$

Пусть X = 60/11. Тогда n = 16:16*11 = 11.

Получаем, что кредит был взят на 11 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350000 рублей?

Решение

Если нужно найти минимальное количество лет, на которые нужно взять кредит, то выплаты должны быть максимальными, т.е. в условиях нашей задачи составлять 350 000 рублей в год.

В январе долг станет равным 1 300 000* 1,1 = 1 430 000 рублей.

После 1 платежа в июле сумма долга составит 1 430 000 - 350 000 = 1 080 000 рублей.

В январе долг станет равным 1 080 000*1,1 = 1 188 000 рублей.

После 2 платежа в июле сумма долга составит 1 188 000 - 350 000 = 838 000 рублей.

Январь: 838 000*1,1 = 921 800.

После 3 платежа в июле: 921 800 - 350 000 = 571 800.

Январь: 571 800*1,1 = 628 980.

После 4 платежа: 628 980 - 350 000 = 278 980.

Январь: 278 980*1,1 = 306 878.

5 платеж будет последним и составит 306 878 рублей.

Получили, что кредит можно взять минимум на 5 лет.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

Зависимость объема Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P, 1000≤P≤15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Решение

Доход можно вычислить по формуле:

$$PQ = P(15000-P).$$

Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.

Обозначим прибыль через R. Тогда R вычисляется по формуле:

$$R = PQ - (3000Q+5000000) = P(15000-P) - (3000(15000-P)+5000000),$$

$$R = 15000P - P^2 - 45 000 000 + 3000P - 5 000 000,$$

$$R = -P^2 + 18000P - 50 000 000.$$

После снижения цены на 20% цена стала равна 0,8P. Соответственно прибыль будет вычисляться по формуле:

$$R = -(0,8P)^2 + 18000\cdot 0,8P - 50 000 000.$$

$$R = -0,64P^2+14400P - 50 000 000.$$

Так как прибыль не изменилась, то получаем уравнение:

$$-P^2 + 18000P - 50 000 000 = -0,64P^2+14400P - 50 000 000,$$

$$0,36P^2-3600P = 0,$$

$$P_1 = 0,~~P_2 = 10 000.$$

Нам подходит значение P = 10 000 рублей. Соответственно новая цена равна 8000 рублей.

Теперь исследуем функцию $R = -P^2+ 18000P - 50 000 000$ на максимум и найдем P, при котором будет достигаться наибольшая прибыль.

Для этого найдем производную функции $R = -P^2+ 18000P - 50 000 000$:

$$R" = -2P+18000,$$

$$R" = 0,~~ P_1 = 0, ~~ P_2 = 9000.$$

P = 9000 - точка максимума данной функции, а значит при цене P = 9000 будет достигаться наибольшая прибыль.

Найдем, на сколько процентов нужно увеличить цену P = 8000, чтобы получить новую цену 9000 рублей. Имеем пропорцию:

112,5 - 100 = 12,5%.

То есть для достижения максимальной прибыли нужно увеличить новую цену на 12,5%.

Ответ: 12,5%.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение

Пусть X (руб.) - взято в кредит в банке. Y (руб.) - первый платеж.

1 месяц (февраль):

$$(1+r/100) \cdot X - Y.$$

Так как 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца, то эта сумма равна

$$X - ((1+r/100) \cdot X - Y) = Y - rX/100.$$

Кредит был взят на 39 месяцев, а значит после 39 платежей долг будет полностью выплачен.

$$X - 39 \cdot (Y - rX/100) = 0,$$

$$Y = \frac{X+39rX/100}{39} = X/39+rX/100.$$

Теперь найдем общую сумму погашения кредита.

Так как долг 15-го числа каждого месяца уменьшаеся на на одну и ту же сумму по сравнению с 15 числом предыдущего месяца, то и платеж каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину.

$$(1+r/100) \cdot ((1+r/100) \cdot X - Y) = (1+r/100) \cdot ((X+rX/100 - X/39 - rX/100) = $$

$$= (1+r/100) \cdot 38X/39.$$

$$(1+r/100) \cdot X - Y - (Y - rX/100) = X-2Y+2rX/100 = $$

$$ = X - 2X/39-2rX/100+2rX/100 = 37X/39.$$

Значит, второй платеж равен

$$(1+r/100) \cdot 38X/39 -37X/39 = X/39 + 38rX/3900. $$

Разница между платежами составляет:

$$Y - (X/39 + 38rX/3900) = X/39+rX/100 - X/39 - 38rX/3900 = $$

$$ = rX/100 \cdot (1-38/39) = rX/3900.$$

Суммы платежей представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, где первый член равен Y или X/39+rX/100, а разность прогрессии равна rX/3900.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит, то есть общая сумма платежей равна 1,2X.

Найдем сумму всех 39 платежей по формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$S_{39} = \frac{2(X/39+rX/100)-rX/3900 \cdot 38}{2} \cdot 39 = 1,2X,$$

$$ 39 \cdot (2X/39+2rX/100-38rX/3900) = 2,4X.$$

Сократим все уравнение на X:

$$39 \cdot (2/39 + 2r/100 -38r/3900) = 2,4,$$

$$2+78r/100-38r/100 = 2,4,$$

$$40r/100 = 0,4,$$

То есть искомое значение r = 1%.

Задание 19 (ЕГЭ 2015)

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5х^2+2x+6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px-(0,5x^2+2x+6)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Решение

За 3 года прибыль составит:

$$3 \cdot (px-(0,5x^2+2x+6)).$$

Нужно найти наименьшее значение p, при котором выполнится неравенство:

$$3 \cdot (px-(0,5x^2+2x+6)) \ge 78,$$

$$px-(0,5x^2+2x+6) \ge 26,$$

$$px \ge 0,5x^2+2x+32,$$

$$p \ge 0,5x+2+\frac{32}{x}.$$

Так как нужно найти наименьшее значение p, то нужно исследовать функцию $0,5x+2+32/x$ на минимум. Для этого найдем ее производную:

$$(0,5x+2+32/x)" = 0,5-32/x^2,$$

$$0,5 - \frac{32}{x^2} = 0,$$

$$x^2 = 64,~x_1 = 8,~x_2 = -8.$$

x = 8 - точка минимума, поэтому минимальное значение p равно:

$$p = 0,5 \cdot 8 + 2 + 32/8 = 4+2+4 = 10. $$

Искомое наименьшее значение p = 10.

1. В июле планируется взять кредит на сумму 8052000 рублей. Условия его возврата таковы:

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга
Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?

Ответ: 3 110 400

2. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Ответ: 4,55

3. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.

Ответ: 15

4. В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Ответ: 950 400

5. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

Ответ: 10

6. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на 5 лет. Условия его возврата таковы:

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

Ответ: 13

7. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн рублей?

Ответ: 8

8. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найти х, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший - не менее 0,5 млн рублей.

Ответ: 25

9. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн рублей на некоторый срок
(целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн рублей?

Ответ: 11

10. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
На какое минимально количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты были не более 350000 рублей?

Ответ: 5

11. Зависимость объема Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P, 1000 ≤P≤ 15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.
Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство.
Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Ответ: 12,5%

12. 15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Ответ: 1

13. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х2+2x+6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px-(0,5x2+2x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Ответ: 10

-3 x + 12 = 2 x + 2 + t ,

t = 10 – 5x ,

T = xt = x × (10 – 5x) = 10x – 5x2 .

Находим максимум функции T :

T ¢ = 10 – 10 x = 0,

x =1,

T ² = -10 < 0,

следовательно, x = 1 – точка максимума.

В точке x = 1 находим t = 5 , T = 5 . Следовательно, доход государства максимален при t = 5 .

Задача 4

Функция общих затрат монополии имеет вид ТС = 200 + 30 Q , функция спроса на ее продукцию Р = 60 – 0,2 Q . Определить цену, при которой фирма максимизирует прибыль.

Решение

I = TR – TC , так как TR = Q × P ,

то I = 60Q – 0,2Q2 – Q = 0,2Q + 30Q – 200,

I ¢ = -0,4Q + 30,

I ¢ = 0 Þ -0,4 Q + 30 = 0, тогда Q = 75, значит Р = 60 – 0,2 × 75 = 45 .

Задача 5

Функция суточного спроса Q на мороженое (тыс. шт .) в зависимости от цены Р за одну порцию (руб ) имеет вид . Эффективная область «работы» этой формулы от 1 до 9 руб . При какой цене за порцию мороженого совокупная выручка будет максимальной?

Решение

Совокупная выручка определяется из соотношения TR = Q ×. P, где Q – количество реализованных порций мороженого (тыс. шт .); Р – цена за одну порцию (руб ). Тогда функция совокупной выручки в зависимости от цены примет вид:

Требуется найти наибольшее значение этой функции на отрезке .

Для этого находим критические точки функции, принадлежащие данному отрезку:

Критическая точка Р = 4 . Вычислим значение функции совокупной выручки на концах интервала и в критической точке:

TR(1) =. 1 = 2;

TR(4) =. 4 = 4;

TR(9) = 0.

Следовательно, при цене 4 руб за порцию совокупная выручка будет максимальной и составит 4000 руб.

Задача 6

Некоторая монополия продает свою продукцию на двух рынках, функции спроса на которых и , функция издержек ТС = Q 2 . Найти точку (Q 1 и Q 2 ), в которой значение функции прибыли I = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 – TC (Q ) .

Решение

Составим функцию прибыли I = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 – TC (Q ) для этого найдем Р1 и Р2 :

https://pandia.ru/text/78/466/images/image064_7.gif" width="63" height="43 src=">,

значит ,

Находим критические точки:

Q 2 = 4 Q 1 ,

64= Q 1 3 Þ Q 1 = 4, Q 2 = 16.

Следовательно Q 1 = 4, Q 2 = 16, I = 1200.

Задача 7

V(t) = 5000 + 1000 t -100 t2 ,

где t – время, измеряемое в месяцах; V – количество видеомагнитофонов, проданных за месяц.

Найти скорость изменения объема продаж в момент времени:

а) t = 0 ; б) t = 2 ; в) t = 6 .

Задача 8

Население некоторой страны растет по следующему закону:

P (t ) = 100000 × (1 + t )2 ,

где время t измеряется в годах. Найти скорость изменения населения в момент времени:

а) t = 0 ; б) t = 2 ; в) t = 5 .

Задача 9

Эпидемия медленно распространяется среди населения. Число заболевших определяется формулой:

Вода питьевая" href="/text/category/voda_pitmzevaya/" rel="bookmark">питьевой воды заданы формулой:

где t – процентное содержание загрязняющих воду примесей.

Найти скорость изменения издержек производства, если примеси составляют 5 %.

Задача 11

Количество произведенной за день продукции Q(x) зависит от числа рабочих в сборочном цехе следующим образом:

Q(x) = 100х + Зх2,

где х – число рабочих.

а) Если в сборочном цехе работали 70 человек, оценить изменение

количества произведенной за неделю продукции, вызванное добавлением одного рабочего.

б) Найти точное значение прироста выработки за неделю, вызванного добавлением одного рабочего.

Задача 12

Месячное производство Q(x) некоторого продукта зависит от инвестиций следующим образом:

где х – инвестированный капитал в миллионах рублей.

Вычислить точно и приближенно прирост производства, вызванный дополнительным вложением 1 млн. руб , если первоначальные инвестиции

составляли 100 млн. руб .

Задача 13

С(х) = 100 + 3х + х2 ,

где х – число единиц продукции. Цена на этот товар составляет 20 . Найти функцию предельной прибыли и ее значение в точке 30 . Объяснить экономический смысл значения Р"(3О). Р(31) - Р(30) .

Задача 14

Издержки производства некоторой продукции имеют вид:

С(х) = 150 + 10х + 0,01х2 ,

где х – число единиц продукции. Цена на этот товар составляет 36 . Найти функцию прибыли и функцию предельной прибыли. Объяснить экономический смысл величины Р"(15). Вычислить и объяснить смысл величины Р(16) - Р(15).

Задача 15

Функция издержек производства некоторой продукции определяется следующей формулой:

а) С(х) = 2000 + 10Ох + 0,1х2;

б) С(х) = 3500 + 150х + 0,2х2,

где х – число единиц произведенной продукции.

Найти функцию предельных издержек, средние издержки производства х единиц продукции и скорость изменения средних издержек. При каком уровне производства скорость изменения средних издержек равна нулю?

Задача 16

В гостинице 60 номеров. При цене 300 руб за номер в сутки бывает занято 50 номеров. Если цена снижается до 280 руб за номер, то занято 55 номеров. Найти максимальное значение выручки, предполагая линейным закон спроса . При какой цене достигается это значение?

Задача 17

Ресторан рассчитан не более чем на 100 посетителей. При цене 120 руб , за обед бывает 70 посетителей, а при цене 100 руб за обед число посетителей возрастает до 80 . Фиксированные издержки приготовления обеда составляют 900 руб в день, а переменные – 40 руб за обед. Найти функцию прибыли, предполагая линейной зависимость между числом посетителей и ценой обеда. Каково максимальное значение прибыли?

Задача 18

Цена на некоторый товар составляет 250 руб . Издержки производства этого товара равны 120х + х2 , где х – число единиц произведенного товара. Найти максимальное значение прибыли.

Задача 19

Издержки производства некоторой продукции определяются функцией 5 x2 + 80 x , где х – число единиц произведенной за месяц продукции. Эта продукция продается по цене 280 руб за изделие. Сколько изделий нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальна.

Задача 20

Пусть известны функции соответственно спроса и предложения на некоторый товар на конкурентном рынке:

р = 2х + 50,

р = - х + 200 ,

где х – число единиц товара.

Предположим, что средние издержки производства одной единицы товара определяются следующей функцией:

Задача 23

Компания нашла покупателя, согласного покупать у нее 20 000 единиц некоторого товара в год. Подготовка к производству одной партии составляет 30 руб . Производство одной единицы товара обходится в 9 руб , а издержки хранения составляют 0,3 руб

Задача 24

Компания должна произвести 96 000 единиц продукции в год. Издержки подготовки к производству одной партии составляют 1500 руб , а издержки производства одной единицы продукции – 10 руб . Хранение обходится в 0,5 руб за единицу товара в год. Найти число единиц товара в партии, при котором совокупные издержки производства и хранения будут минимальны.

Задача 25

Функция спроса имеет вид:

а) Найти эластичность спроса в точке р = 50 .

Задача 26

Уравнение спроса имеет вид:

https://pandia.ru/text/78/466/images/image078_4.gif" width="92" height="25">.

Найти эластичность и выяснить, как повлияет увеличение цены на

выручку, если спрос составляет:

а) 150 единиц; б) 50 единиц

Задача 28

Уравнение спроса имеет вид:

Затраты постоянные" href="/text/category/zatrati_postoyannie/" rel="bookmark">постоянные затраты фирмы равны 55 денежных единиц . Функция предельных затрат фирмы имеет вид МС = 22 - 8 Q + 3 Q 3. Определить функцию общих затрат фирмы и рассчитать эти затраты при выпуске 3 единиц продукции.

Задача 31

Функция средних переменных затрат имеет вид AVC = 10 + 2 Q. Постоянные затраты равны 12 ден. един. Найти алгебраическое выражение для функций общих и предельных затрат.

Задача 32

Функция общих затрат предприятия имеет вид ТС = 30 + 5 Q + Q2 . Определить выражение для постоянных, переменных, предельных, средних, общих, средних постоянных и средних переменных затрат как функции от Q. При каком значении Q средние общие затраты достигают минимума?

Задача 33

Известно, что постоянные затраты фирмы составляют 80 денежных единиц. Функция предельных затрат имеет вид МС = 30 - 10 Q + 6 Q2 +1,6 Q3 . Определить функцию общих затрат фирмы и рассчитать эти затраты при выпуске трех единиц продукции.

Задача 34

Имеет вид Qd = 14 - 2Р, Qs = -4 + 2Р. Определить ставку налога, при которой равновесный объем продаж составит две единицы.

Задача 35

Функция спроса населения на данный товар Qd = 10 - Р, функция предложения данного товара Qs = -5 + 2Р. Предположим, что на данный товар введен налог, уплачиваемый продавцом, в размере трех денежных единиц за штуку. Определить величину чистых потерь, обусловленных введением налога.

Задача 36

Функция спроса населения на данный товар Qd = 7 - Р, функция предложения данного товара Qs = -5 + 2Р. При какой ставке налога общая сумма налога окажется максимальной?

Задача 37

Qd = 8 - Р, а функция предложения данного товара Qs = -5 + 2Р. Предположим, что на данный товар введен налог, уплачиваемый продавцом, в размере одной денежной единицы. Определить: а) цену для покупателя и цену для продавца с учетом налога; б) общую сумму вносимого в бюджет налога.

Задача 38

Монополия максимизирует выручку при целевой прибыли не ниже 1500 млн. руб . Известны функция спроса на продукцию монополиста Р = 30 4 - 2 Q и функция затрат ТС = 500 + 2 Q + 8 Q2. Определить оптимальный объем выпуска при данной прибыли и выпуск, при котором прибыль монополии максимальна.

Задача 39

Фирма находится в условиях совершенной конкуренции. Функция общих затрат имеет вид ТС = 0,1 Q2 + 15 Q + 10 . Какой объем производства продукции выберет фирма, если цена товара двадцать пять денежных единиц.

Задача 40

Фирма выпускает товар и продает его по цене четырнадцать денежных единиц. Функция общих издержек фирмы ТС = 2 Q + Q3 . При каком объеме выпуска прибыль фирмы будет максимальна.

Задача 41

Производственная форма фирмы имеет вид: Q = K0,5 × L0,5 . Предположим, что в день затрачивается 4 часа труда (L = 4) и 4 часа работы машины (K = 4). Определить:

1) максимальное количество продукции;

2) средний продукт труда;

3) допустим, что фирма увеличила затраты обоих факторов в два раза. Каков будет объем выпускаемой продукции?

Задача 42

Монополия владеет двумя предприятиями, функция затрат которых дана: ТС1 = 10 Q1, ТС2 = 0,2 Q22 . Функция спроса на продукцию монополиста Q = 200 – 2Р . Определить оптимальную для монополиста цену.

Задача 43

Функция затрат монополии имеет вид ТС = 5 Q + 0,25 Q2 . Монополия торгует на двух рынках, функция спроса на которых Q1 = 160 – Р1 ; Q2 = 160 – Р2. Определить цены на каждом рынке, при которых прибыль монополии будет максимальной.

Задача 44

Предположим, что производственная функция фирмы имеет вид: . Если количество применяемого труда возрастает на 8 %, а капитала на 4 %, то на сколько увеличится объем выпуска?

3. Применение интегрального исчисления

Интегрирование используется для нахождения функций издержек, прибыли, потребления, если известны соответственно функции предельных издержек, предельной прибыли и т. д. Для определения произвольной постоянной интегрирования необходимо дополнительное условие. Если находится функция издержек, используется то, что ее значение в точке х = 0 (х – число единиц произвольной продукции) равно значению фиксированных издержек, а при определении функции дохода – то, что ее значение в точке х = 0 равно нулю (доход равен нулю, если не продано ни одного изделия).

Задача 1

Задана функция предельного дохода:

R"(x) = 20 - 0,04х.

Найти функцию дохода и закон спроса на продукцию.

Решение

R(0) =0 , следовательно, С = 0 ,

R(x) = 20 x - 0,02 x2 .

Если каждая единица продукции продается по цене р, то доход определяется формулой R = хр. Следовательно, деля на х функцию дохода, находим закон спроса р(х) :

р =,02х .

Коэффициент неравномерности распределения дохода. Рассмотрим функцию у = f(x), где у – это доля совокупного дохода, получаемая частью х наиболее низко оплачиваемого населения. Например, означает, что 80 % наиболее низко оплачиваемого населения получают 60 % совокупного дохода. Очевидно, что 0 < х < 1, 0 < у < 1; у £ х. Предположим, что нет населения с нулевым доходом, т. е. у(0) = 0, и весь доход получается всей совокупностью населения, т. е. у(1) = 1.

На рис. 9 показан пример графика функции у = f(x). Эта кривая называется кривой Лоренца. Если бы распределение доходов было совершенным, то 10 % населения получали бы 10 % совокупного дохода, 20 % населения – 20 % дохода и т. д. Тогда кривой распределения доходов была бы прямая у = х. Отклонение реального распределения доходов от идеального измеряется отношением L площади между прямой у = х и кривой Лоренца к площади, ограниченной прямыми у = х; х = 1 и осью х, и называется коэффициентом нерав номерности распределения доходов

Очевидно, что 0 £ L £ 1. Зна-чение L = 0 соответствует совер-шенному распределению доходов.

Кривая обучения. Часто необходимо оценить, сколько вре-мени потребуется для производства некоторого дополнительного коли-чества продукции. Для подобных расчетов пользуются так назы-ваемой кривой обучения.

Пусть Т = F(x) – время, измеряемое в человеко-часах, необходимое для производства первых х единиц продукции. Тогда f(x) = F"(x) приближенно равно времени, необходимому для производства (х + 1) -й единицы продукции. Обычно используют функции вида:

где а > 0, -1 < b < 0.

График функции такого вида изображен на рис. 10 и называется кривой обучения.

Функция f(x) – убывающая, так как время, необходимое для выполнения некоторой операции, убывает при возрастании числа повторов.

Время ΔT, необходимое для производства единиц продукции с номерами от п 1 до п2, определяется формулой:

Задача 2

После сборки 100 часов оказалось, что в дальнейшем время убывает в соответствии с формулой у = 15х -0 ,14. Найти время, которое потребуется для сборки еще 20 часов (т. е. с номера 101 до номера 120).

Решение

Кривая спроса" href="/text/category/krivaya_sprosa/" rel="bookmark">кривая спроса D на некоторый товар и р = g(x) – кривая предложения S; А(х0, р0) – точка рыночного равновесия (рис. 11). Некоторые потребители могут заплатить за этот товар цену р > р 0. Найдем выигрыш потребителей от установленной цены р0. Разобьем отрезок на п частей и обозначим точки разбиения:

https://pandia.ru/text/78/466/images/image089_4.gif" width="83 height=23" height="23">. Выигрыш потребителей на этом отрезке равен:

(р × (х1*) – р0) ×Δх i,

где .

Суммируя все выигрыши, получаем:

Если функция спроса непрерывна и п ® ¥, а длина максимального отрезка разбиения max ½Δх ½ ® 0, то эта интегральная сумма имеет предел, равный:

Таким образом, выигрыш потребителей:

Аналогично находится выигрыш поставщиков:

Очевидно, что выигрыш потребителей равен площади, заключенной между кривой спроса D и прямой р = ро. Выигрыш поставщиков равен площади, заключенной между прямой р = ро и кривой предложения S (см. рис. 11).

Задача 3

Известны законы спроса и предложения:

р = 116 – х 2,

https://pandia.ru/text/78/466/images/image098_4.gif" width="128" height="91 src=">

откуда – не удовлетворяя https://pandia.ru/text/78/466/images/image102_4.gif" width="44" height="19 src=">

Среднее значение . Среднее значение непрерывной функции на промежутке находится по формуле

Среднее значение функции используется при вычислении налога на имущество предприятия . Величина налога

где k – коэффициент, зависящий от вида предприятия; f(c) – среднее значение стоимости имущества за год; – промежуток времени, равный году.

Интеграл вычисляется приближенно по формуле трапеций с разбиением года на 12 месяцев:

где f(0) – стоимость имущества на 1 января ; f(1) – стоимость имущества на 1 февраля ; … f(11) – стоимость имущества на 1 декабря ; f(12) – стоимость имущества на 1 января следующего года.

Задача максимальной прибыли. В ряде отраслей промышленности, например в горнодобывающей, после некоторого момента времени прибыль начинает убывать. В этом случае необходимо найти момент времени, в который прибыль принимает максимальное значение, и своевременно остановить производство.

Задача 4

Скорости изменения издержек и дохода во времени имеют следующий вид:

С ¢ (t) = 2 + t,

R ¢ (t) = 17 – 2t.

Найти максимальное значение прибыли, которое можно получить от этого производства. Когда производство следует остановить?

Решение

P ¢ (t) = R ¢ (t) - C ¢ (t) = 17 – 2t – 2 = 15 – 3t,

R ¢ (t ) = 0 при t = 5 ,

P ² (5) = -3 < 0, следовательно, t = 5 – точка максимума,

https://pandia.ru/text/78/466/images/image110_3.gif" width="59" height="37 src=">.

Зная скорость изменения инвестиций, можно найти изменения капитала по формуле:

(х) = 50 + 0,02х.

а) Найти функцию издержек, если фиксированные издержки составляют 2500 руб в месяц.

250 изделий в месяц?

в) Если продукция продается по цене 75 руб за изделие, сколько нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальной?

Задача 6

Функция предельных издержек некоторого предприятия имеет вид: С"(х) = 60 - 0,04х + 0,00Зх2.

а) Найти функцию издержек, если издержки производства 100 единиц продукции составляют 7000 руб.

б) Найти фиксированные издержки.

в) Каковы издержки производства 250 единиц продукции?

г) Если цена составляет 65,5 руб за единицу продукции, найти максимальное значение прибыли.

Задача 7

Функция предельных издержек имеет вид:

С"(х) = 60 + 0,04х.

Фиксированные издержки составляют 1800 руб в месяц, а цена одного изделия равна 80 руб.

а) Найти переменные издержки.

б) Каковы издержки производства 150 изделий?

в) Найти приращение прибыли, если объем производства вырос со 150 до 200 изделий.

Задача 8

Функция предельного дохода некоторого предприятия имеет вид:

a) R"(х) =20 - 0,02х, б) R"(х) =,04х - 0,003х2.

Найти функцию дохода. Найти уравнение спроса.

Задача 9

Функция предельной прибыли имеет вид:

Р"(х) =,004х.

Прибыль предприятия составляет 35800 руб, если продано 1200 изделий. Найти функцию прибыли.

Задача 10

Распределение дохода в некоторой стране определяется кривой Лоренса:

а ) у = 0,87х2 + 0,13х; 6) у = 0,96х2 + 0,04х.

Какую часть дохода получают 8 % наиболее низко оплачиваемого населения? Посчитать коэффициент неравномерности распределения совокупного дохода.

Задача 1 1

Р = 112 - х2.

Найти выигрыш потребителей, если равновесная цена равна 90.

Задача 1 2

Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид:

Найти выигрыш потребителей, если равновесное количество товара равно 10.

Задача 1 3

Функция совокупных издержек монополии и уравнение спроса на этот товар имеют следующий вид:

а) С(х) = 900 + 40х + 5х2; б) С(х) = 400 + 30х + х2;

р = х - 2х2; .

Найти выигрыш потребителей в точке, где монополия имеет максимальную прибыль.

Задача 1 4

Функция совокупных издержек производства некоторой продукции имеет вид:

С(х) = 1000 + 2х + 0,004х2.

Найти среднее значение издержек при изменении объема производства от 100 до 200 единиц.

где у – число заболевших в момент времени t . Через какое время заболеет 70 % населения, если в начальный момент времени было трое больных?

Задача 5

Численность населения y (t ) некоторой страны удовлетворяет дифференциальному уравнению:

где время t измеряется в годах. В начальный момент времени население составляло 1000 чел . Через сколько лет население возрастет в четыре раза?

Задача 6

Пусть функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид:

а) Найти зависимость равновесной цены от времени, если p = 10 в момент времени t = 0 .

Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет экономических задач на банковские проценты и оптимизацию.

Видеоразборы задач

15-го января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Найдите наибольшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,2 млн рублей.

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 50 рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2073 рублей?

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено 311 040 рублей?

В регионе A среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе B среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона B увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на $m\%$ ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах A и B стал одинаковым. Найдите $m$.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1; 2; \ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в $(1 + r)$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно?

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;
выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. рублей;
к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 200 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 300 рублей.
Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

В июле 2017 года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ млн. рублей, где $S$ -- целое число. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Найдите наибольшее значение $S$, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн. рублей.

Подборка задач

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере $S$ млн. рублей, где $S$ -- натуральное число. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение $S$, при котором общая сумма выплат будет меньше 50 миллионов рублей. (ЕГЭ-2019, досрочная волна; ЕГЭ-2016)

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2\% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита. (ЕГЭ-2018, основная волна)

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3\% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей? (ЕГЭ-2018, основная волна)

15-го декабря планируется взят кредит в банке на 1 000 000 рублей на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r \%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу $(n + 1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей. (ЕГЭ-2018, основная волна)

15-го декабря планируется взят кредит в банке на 600 000 рублей на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа с 1 по 25 месяц долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму;
- 15-го числа 26 месяца долг должен быть погашен.
Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 25 месяца, если всего было выплачено 691 тысяч рублей? (ЕГЭ-2018, основная волна)

15-го декабря планируется взят кредит в банке на 700 тысяч рублей на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1\% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по $n$-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа $n$-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;
- к 15-му числу $(n+1)$-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите $n$, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 755 тысяч рублей. (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день)

В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20\% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами, и банку будет выплачено 311 040 рублей? (ЕГЭ-2018, досрочная волна)

Зависимость объёма $Q$ (в шт.) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой $Q = 15000 - P$, $1000 \leqslant P \leqslant 15000$. Доход от продажи товара составляет $PQ$ рублей. Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q + 5000000$ рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 20 %, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли? (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день; ЕГЭ-2015)

Зависимость количества $Q$ (в шт., $0\leqslant Q \leqslant 15000$) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой $Q = 15000 - P$. Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q + 1000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог $t$ рублей ($0 < t < 10000$) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ - 3000Q - 1000000 - tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $tQ$ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении $t$ общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной? (ЕГЭ-2018, основная волна, резервный день)

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1, 2, 3, \ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в $1 + r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно? (ЕГЭ-2017, досрочная волна)

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $10t$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1, 2, 3, \ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в $1 + r$ раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года. При каких положительных значениях $r$ это возможно? (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)

Борис является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Борис платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 200 рублей.
Борису нужно каждую неделю производить 70 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих? (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе -- 300 рублей.
Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? (ЕГЭ-2017, основная волна, резервный день)

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число $n$ млн. рублей в первый и второй годы, а также целое число $m$ млн. рублей в третий и четвёртый годы.
Найдите наименьшее значение $n$ и для него наименьшее значение $m$, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся. (ЕГЭ-2016, досрочная волна)

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей. (ЕГЭ-2016)

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего года и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наименьший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад станет не меньше 30 млн рублей. (ЕГЭ-2016)

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
− в июле 2017,2018 и 2019 долг остается равным $S$ тыс. рублей;
− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;
− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет. (ЕГЭ-2016)

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере $S$ тыс. рублей, где $S$ - натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы
− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей. (ЕГЭ-2016)

Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн. рублей, где $х$ - целое число. Найдите наименьшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей. (ЕГЭ-2016)

Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $х$ млн рублей, где $х$ - целое число. Найдите наибольшее значение $х$, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей. (ЕГЭ-2016)

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $2t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $5t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих? (ЕГЭ-2015)
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах? (ЕГЭ-2015)

Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство $x$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x^2+2x+6$ млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px-(0,5x^2+2x+6)$.

Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не более, чем за 3 года? (ЕГЭ-2015)

15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на $r$% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите $r$. (ЕГЭ-2015)
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Cергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?
Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк $\dfrac{3}{4}$ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Игорь купил акцию за 8 000. В конце каждого года стоимость акции увеличивается на 1 000. В любой момент Игорь может продать акцию и положить все деньги в банк на счет. В конце каждого года сумма на счету в банке увеличивается на 8%. В течении какого года Игорю нужно положить деньги в банк, чтобы через 25 лет после покупки акции сумма на счету в банке была максимальна?
По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» - увеличивает на 21 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».
По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект целое число миллионов рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств вкладчика на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начисления процентов нужны дополнительные вложения: по 20 миллионов рублей в первый и второй годы, а также по 10 миллионов в третий и четвёртый года. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при котором они за два года станут больше 125 миллионов, а за четыре года станут больше 200 миллионов рублей.
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
Ювелирному мастеру поступил на обработку алмаз с дефектом. Этот дефект можно устранить, разделив алмаз на три части, суммарный вес которых после огранки составит 50 карат. При этом вес меньшего из полученных бриллиантов будет не меньше 5 карат, а вес большего из них -- не более 30 карат (возможность равенства бриллиантов по весу на исключается). Известно, что стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его веса. Какой вес должен придать мастер каждому из трех бриллиантов, чтобы их суммарная стоимость была максимальной?
Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 5 часов работы станка А и 3 часа работы станка В, а для изготовления изделия второго типа требуется 2 часа работы станка А и 4 часа работы станка В (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более 150 часов в месяц, станок В – не более 132 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 300 денежных единиц прибыли, а каждое изделие второго типа – 200 денежных единиц прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5х^2+2x+6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0,5x^2+2x+6)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно за сутки для нужд промышленности?
В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» - 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?
У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется $у^2$ человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется $t^2$ человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Производство $x$ тыс. единиц продукции обходится в $q = 0,5x^2 + x + 7$ млн рублей в год. При цене $p$ тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет $px - q$. При каком наименьшем значении $p$ через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?
Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объёме $t^2$ Гбайт входящей в него информации выходит $20t$ Гбайт, а с сервера №2 при объёме $t^2$ Гбайт входящей в него информации выходит $21t$ Гбайт обработанной информации; $25 < t < 55$. Каков наибольший общий объём выходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?

Задача 1. (10 баллов)

На рынке некоторого товара спрос и предложение описываются формулами:

Q D =20000 - 20P, Q S =30P - 5000.

а) определите точку рыночного равновесия;
б) на рынке установлена фиксированная цена на товар P=400 . Определите количество товара, проданного на рынке и величину излишка товара или неудовлетворенного спроса.

в) какие фиксированные цены может установить государство, чтобы на рынке было продано более 6400 единиц товара? более 12100 ед.товара?

Задача 2. (4 балла)

В течение 3 лет предприятие имело следующие показатели:

1 год - 50% прибыли на вложенный капитал,

2 год - 30% убытков,

3 год - 20% прибыли.

Считая, что в конце каждого года вся прибыль реинвестируется в производство, определите суммарную прибыль предприятия на вложенный капитал за 3 года.

Задача 3. (8 баллов)

По условиям займа на сумму $10000 , через 4 года надо вернуть $20736 .

а) определите эффективную процентную ставку;
б) через 2 года заёмщик вернул $5000 . Какую сумму он должен вернуть ещё через 2 года?

Задача 4. (12 баллов)

Спрос на продукцию фирмы-монополиста задаётся формулой P=60 - 0.5Q D . Совокупные затраты фирмы равны TC=200+30Q .

а) определите прибыль фирмы при выпуске и продаже 30 единиц продукции;
б) выведите формулу для средних переменных затрат (себестоимости продукции) фирмы;

в) определите маржинальный доход и маржинальные затраты фирмы при выпуске и продаже 20-ой единицы продукции;

г) определите объём выпуска, максимизирующий прибыль фирмы.

Решения задач

а) (2 балла)

Для определения равновесной цены решим уравнение Q D =Q S (величина спроса равна величине предложения): 20000 - 20P=30P - 5000 . Его решение - P=500 .

Определим равновесное количество: Q=20000-20· 500=10000 .
б) (3 балла)

При цене P=400 величина предложения равна Q S =30 400 - 5000=7000 ,

величина спроса Q D =20000-20 400=12000 .

Величина спроса превышает величину предложения, значит на рынке возникнет дефицит и количество проданного товара определяется величиной спроса и равно 7000 .

в) (5 баллов)

Для того, чтобы на рынке было продано более 6400 ед.товара, необходимо и достаточно, чтобы и величина спроса и величина предложения превышали 6400.

Найдём цены, при которых величина спроса превышает 6400.

Q D =20000 - 20P>6400,

решение этого неравенства - P<680.

Найдём цены, при которых величина предложения превышает 6400.

Q S =30P -5000>6400.

Решение этого неравенства - P>380 .

Таким образом, при ценах из интервала (380,680) на рынке будет продано более 6400 ед.товара .

Аналогично, найдём цены, при которых величина спроса превышает 12100.

Q D =20000 - 20P>12100, решение этого неравенства - P<395.

Найдём цены, при которых величина предложения превышает 12100.

Q S =30P-5000>12100.Решение этого неравенства - P>570 .

Решения этих неравенств не имеют общих точек - это означает, что более 12100 ед.товара не может быть продано на рынке при установлении фиксированных цен .

Задача 2. (4 балла)

Обозначим вложенный капитал через I .

Тогда в конце 1 года предприятие имело I +0,5I =1,5I .

В конце 2 года - 0,7 1,5I =1,05I .

В конце 3 года - 1,2 1,05I =1,26I .

Таким образом, за 3 года предприятие получило 0,26I или 26% прибыли .

а) (3 балла)

Пусть сумма, которую необходимо вернуть возрастает за год в k раз. Тогда за 4 года эта сумма возрастёт в k 4 раз. По условию задачи, за 4 года сумма займа возросла в 20736/10000=2.0736 раз. Таким образом, получили уравнение k 4 =2.0736 , откуда k=1.2 , что соответствует эффективной процентной ставке в 20% годовых .
б) (5 баллов)

За 2 года взятые $10000 превратились в

$10000 1.2 1.2=$14400 .

Из этой суммы было возвращено $5000 , и сумма долга составила

$14400 - $5000=$9400.

По прошествии ещё 2 лет эта сумма возрастёт до $9400 1.2 1.2=$13536 .

а) (2 балла)

Определим затраты фирмы при производстве 20 единиц продукции. Для этого достаточно подставить Q=20 в формулу для совокупных затрат (TC): TC(20)=200+30 20=800.

Определим цену, по которой надо продавать продукцию: P=60 - 0,4 20=52 .

Выручка от продажи 20 единиц продукции составит 52 20=1040 .

Прибыль = 1040 - 800=240 .
б) (2 балла)

(Ниже используются общепринятые обозначения).

ATC=(200+30Q)/Q=30+200/Q.

в) (4 балла)

Воспользуемся определением маржинальных затрат: MC(20)=TC(20) - TC(19)

TC(20)=200+30 20=800, TC(19)=200+30 19=770.

MC(20)=800 - 770=30.

Аналогично, определим маржинальный доход.

MR(20)=TR(20) - TR(19), TR=P Q,

Q=20, P=60 - 0,5 20=50, TR(20)=50 20=1000.