Погашение долга единовременным платежом

Приветствую всех! Брал кредит на себя 5 месяцев назад в банке "восточный". При прочтении договора, заметил что в графике платежей (36 месяцев) отсутствуют 2 графы. А конкретно - нет графы, в которой написано сколько я ежемесячно отдаю процентов и сколько из моей оплачиваемой суммы уходит на погашение основного долга.

На вопрос оператор, который оформлял кредит ответила следующее: "да, в нашем договоре этих граф нет, примерное соотношение ежемес.платежа % к сумме основного долга - 50/50". Меня смутило, что соотношение 50\50 по графику платежей не каждый банк предоставляет, но это ладно. Вносил ежемесячные платежи и через 2 месяца начал звонить в службу поддержки для выяснения суммы для досрочного погашения. По сей день вношу платежи уже 6й месяц, а сумма для досрочного погашения одна и та же. Объясняется тем, что первый год все мои платежи уходят на погашение %. А со 2го года начнет уменьшатся сумма основного долга.

Подскажите пожалуйста, насколько законно действует банк и как можно решить этот вопрос? Отдаю ежемесячно немаленькую сумму, и меньше всего хочется выбрасывать ее просто в воздух, планировал закрывать досрочно, но сумма не уменьшается. Очень надеюсь на помощь компетентных людей. Заранее спасибо!

Рассчитаем в MS EXCEL остаток основной суммы долга, который требуется погасить после заданного количества периодов. Выплата кредита производится равными ежемесячными платежами (аннуитетная схема). Процентная ставка и величина платежа - известны, начисление процентов за пользование кредитом – также ежемесячное.

Предусматривает погашение кредита периодическими равновеликими платежами (как правило, ежемесячными), которые включают как выплату основного долга, так и процентный платеж за пользование кредитом. Такой равновеликий платеж называется аннуитет.
В аннуитетной схеме погашения предполагается неизменность процентной ставки по кредиту в течение всего периода выплат. В статье показано как рассчитать величину регулярной суммы для погашения кредита или ссуды.
В данной статье научимся вычислять остаток основной суммы долга, который требуется погасить после заданного количества периодов (а также сумму основного долга, которая была выплачена в промежутке между двумя периодами).

Вычисление остатка суммы основного долга (при БС=0, тип=0)

Пусть был взят кредит в размере 100 000руб. на 10 лет под ставку 9%. Кредит должен гаситься ежемесячными равными платежами (в конце периода). Требуется вычислить сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат.
Решение простое – используйте функцию ОСПЛТ(): =ОСПЛТ(9%/12;25;10*12;100000)
Ставка за период (ставка): 9%/12
Номер периода (первый месяц третьего года выплат): 25=2*12+1
Всего периодов (кпер): 10*12
Кредит: 100000
Ответ: Сумма основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат: -618,26руб.

Теперь выполним те же вычисления, только осмысленно, т.е. понимая, суть расчета.

1. Вычислим ежемесячный платеж, используя формулу . Обозначим сумму кредита как ПС, ежемесячный платеж как ПЛТ: ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Отсюда, ПМТ=ПС* ставка /(1-(1+ставка)^-кпер)=1266,76 (правильность расчета можно проверить с помощью ПЛТ() – см. файл примера, лист Задача ). ПЛТ() вернет -1266,76. Знак минус указывает на различные направления денежных потоков + (из банка сумма кредита), - (в банк ежемесячные платежи). Формула приведенной стоимости является следствием того, что сумма долей ежемесячных платежей, идущих на погашение основной суммы долга, должна быть равна сумме кредита.

Выведем формулу:

1. Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 1-й период =ПМТ-ПС*ставка, а с учетом знаков =-ПМТ-ПС*ставка (чтобы сумма долей была того же знака, что и ПС). Обозначим эту долю как ПС1. ПС*ставка – это сумма процентов, уплаченная за пользование кредитом в первый период.
2. Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 2-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка=-ПМТ-(ПС +ПМТ+ПС*ставка) *ставка=(-ПМТ-ПС*ставка)*(1+ставка)=ПС1*(1+ставка). Обозначим эту долю как ПС2. ПС-ПС1 – это остаток суммы долга в конце второго периода.
3. Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 3-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1-ПС2)*ставка=-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка+ПС2*ставка =ПС2+ПС2*ставка= ПС2*(1+ставка) =ПС1*(1+ставка)^2
4. Очевидно, что доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в последний период (кпер)= ПС1*(1+ставка)^ кпер =-(ПМТ+ПС*ставка) *(1+ставка)^ кпер
5. Чтобы погасить кредит полностью, необходимо, чтобы сумма долей, идущих на погашение кредита, была равна сумме кредита, т.е. =-(ПМТ+ПС*ставка)*(1-(1+ставка)^ кпер)/ставка=ПС. Эта формула получена как сумма членов геометрической прогрессии: первый член =-(ПМТ+ПС*ставка), знаменатель =(1+ставка).
6. Решая нехитрое уравнение, полученное на предыдущем шаге, получим, что ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Это и есть формула приведенной стоимости (при БС=0 и платежах, осуществляемых в конце периода (тип=0)).
1. Вычислим сумму основного долга, которую нужно будет выплатить начиная с 25-го месяца (т.е. в начиная с 25 и заканчивая 120 периодом). Сделаем это используя формулу приведенной стоимости ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Теперь ПМТ нам известно, ПС – это искомая сумма основного долга, которую нужно будет выплатить, начиная с 25-го месяца, т.е. за 96 периодов (120-24=кпер). ПС=86466,91 Правильность расчета можно проверить с помощью ОБЩДОХОД() .
2. Вычислим сумму процентов, которые будут выплачены в 25-й месяц: 86466,91*ставка=648,50 Правильность расчета можно проверить с помощью ПРПЛТ() .
3. Наконец, т.к. каждый платеж содержит сумму, идущую в оплату основной суммы долга и начисленные за период проценты, то Сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат получим как: ПМТ-648,50=618,26

Как видим, сумма совпадает результатом ОСПЛТ() , вычисленную ранее (с точностью до знака).

Вычисление суммы основного долга, которая была выплачена в промежутке между двумя периодами

Данные расчеты можно сделать несколькими разными способами (см. файл примера ).

Способ 1. Функция ОБЩДОХОД()
Функция ОБЩДОХОД(ставка; кол_пер; нз; нач_период; кон_период; тип) возвращает кумулятивную (нарастающим итогом) сумму, выплачиваемую в погашение основной суммы займа в промежутке между двумя периодами (нач_период и кон_период ).

Примечание . Английская версия функции: CUMPRINC(rate, nper, pv, start_period, end_period, type) returns the CUMulative PRincipal paid for an investment period with a Constant interest rate.

Аргументы функции:
Ставка - обязательный аргумент. Процентная ставка за период.
Кол_пер - обязательный аргумент (кол_пер – это аргумент кпер в других функциях аннуитета, например в ПЛТ()). Общее количество периодов выплат.
Нз - обязательный аргумент (нз – это аргумент пс в других функциях аннуитета, например в ПЛТ()). Начальное значение (чаще всего - сумма кредита).
Нач_период - обязательный аргумент. Номер первого периода, включенного в вычисления. Нумерация периодов выплат начинается с 1.
Кон_период - обязательный аргумент. Номер последнего периода, включенного в вычисления.
Тип - обязательный аргумент, определяющий время платежа. Для аннуитета постнумерандо Тип=0, для пренумерандо Тип=1.

Примечание . Убедитесь, что аргумент "Ставка" соответствуют ставке за период (период не обязательно = году). Например, при ежемесячных выплатах по 4-х летнему займу из расчета 12 процентов годовых используйте значение 12%/12 для аргумента "Ставка". Аргумент "Кол_пер" будет равен 4*12. При ежегодных платежах по тому же займу используйте значение 12% для аргумента "ставка" и 4 - для аргумента "Кол_пер". При ежеквартальных платежах по тому же займу используйте значение 12%/4 для аргумента "ставка" и 4*4 - для аргумента "Кол_пер".
Примечание . Функция ОБЩДОХОД() возвращает значение ошибки #ЧИСЛО! если
"Ставка" ≤ 0, "кол_пер" ≤ 0 или "нз" ≤ 0,
"нач_период" < 1, "кон_период" < 1
"нач_период" > "кон_период"
"тип" является любым числом, отличным от 0 и 1
Примечание . Функция ОБЩДОХОД() возвращает значение ошибки #ЗНАЧ! если для "тип" использованы значения ЛОЖЬ или ИСТИНА.

Альтернативная формула

Из анализа альтернативной формулы ясно, что функция ОБЩДОХОД() может использоваться, только если БС=0, т.е. когда предполагается, что по прошествии количества периодов "Кол_пер" займ полностью погашается. Это ограничение можно обойти, записав выражение
=ОБЩДОХОД(ставка; кол_пер; нз+БС; нач_период; кон_период; тип)+(нач_период=1)*тип*БС* ставка /(1+ ставка)

Способ 2. Функция ОСПЛТ()

Функция ОСПЛТ(ставка; период; кпер; пс; [бс]; [тип]) используется для вычисления регулярных сумм идущих на погашение основной суммы долга практически с теми же аргументами, что и ПЛТ() .

Примечание . Английский вариант функции: PPMT(rate, per, nper, pv, , ), т.е. Principal Payment – платеж основной части долга.

Чтобы вычислить сумму основного долга, которая была выплачена в промежутке между двумя периодами, нужно использовать не одну, а несколько функций ОСПЛТ() . Например, вычислим сумму долга, выплаченную в 3-м и 4-м периоде:
=ОСПЛТ(ставка; 3; кпер; пс; [бс]; [тип])+ОСПЛТ(ставка; 4; кпер; пс; [бс]; [тип])

=СУММПРОИЗВ(ОСПЛТ(ставка;СТРОКА(ДВССЫЛ(нач_период&":"&кон_период)); кпер; пс; [бс]; [тип]))

Выражение СТРОКА(ДВССЫЛ(нач_период&":"&кон_период)) создает , например 2:3:4:5 (если нач_период=2 и кон_период=5).
Функция СУММПРОИЗВ() суммирует результаты ОСПЛТ() , т.е. вышеуказанная формула эквивалентна формуле:
=ОСПЛТ(ставка; 2; кпер; пс; [бс]; [тип])+ОСПЛТ(ставка; 3; кпер; пс; [бс]; [тип]) + ОСПЛТ(ставка; 4; кпер; пс; [бс]; [тип])+ОСПЛТ(ставка; 5; кпер; пс; [бс]; [тип])

Способ 3. Вычисление суммы основного долга через Будущую стоимость

Функция БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип]) возвращает будущую стоимость инвестиции на основе периодических постоянных (равных по величине сумм) платежей и постоянной процентной ставки. Подробнее см. статью .
Чтобы вычислить сумму основного долга, которая была выплачена в промежутке между двумя произвольными периодами нач_период и кон_период используйте формулу:

БС(ставка; кон_период; плт; [пс]; [тип]) /(1+тип *ставка)
+ БС(ставка; нач_период-1; плт; [пс]; [тип]) /ЕСЛИ(нач_период =1;1; 1+тип *ставка)

В файле примера также приведена эквивалентная формула без использования функции БС() .

Способ 4. Вычисление суммы основного долга через Приведенную стоимость

Функция ПС(ставка; кпер; плт; [бс]; [тип]) возвращает приведенную (к текущему моменту) стоимость инвестиций.
Подробнее см. статью .
Чтобы вычислить сумму основного долга, которая была выплачена в промежутке между двумя произвольными периодами нач_период и кон_период используйте формулу:

ПС(ставка; кпер-кон_период; плт; [бс]; [тип]) /(1+тип *ставка)
- ПС(ставка; кпер-нач_период+1; плт; [пс]; [тип]) /ЕСЛИ(нач_период =1;1; 1+тип *ставка)

В файле примера также приведена эквивалентная формула без использования функции ПС() .
Чтобы убедиться в идентичности вышеуказанных способов, в файле примера приведен график платежей, рассчитанный на основе функции ОСПЛТ() .

Количественный анализ долгосрочной задолженности (займа) применяется для достижения сбалансированности, т.е. адекватности его параметров принятым условиям финансового соглашения, путем планирования погашения долга.

Планирование погашения долга заключается в определении периодических расходов , связанных с займом, – такие расходы называются обслуживанием долга . Разовая сумма обслуживания долга – срочная уплата , в которую входят:

· текущие процентные платежи;

· средства, для погашения (амортизации) основной суммы долга.

Размеры срочных уплат зависят от условий займа:

· наличия и продолжительности льготного периода;

· уровня процентной ставки;

· способа погашения основной суммы долга и выплаты процентов.

Для кредитной схемы в качестве исходных параметров выступают величина займа (D ), срок его погашения (n ), процент по кредиту (i ), под который выдаются деньги, и поток платежей по выплате долга (Y t ).

Рассмотрим различные способы погашения задолженности, поскольку от выбора способа погашения стоимость кредита (сумма выплачиваемых процентов) будет различной. Здесь возможны два варианта:

а) погашение единовременным платежом , т.е. возврат всей суммы в оговоренный срок;

б) погашение долга в рассрочку , т.е. частями.

3.1.1. Погашение основной суммы долга единовременным платежом в конце срока с постоянной выплатой процентов. Рассмотрим погашение единовременным платежом . В простейшем случае кредит погашается единым платежом в конце срока:

Y = D (1 + i ) n ,

где Y – срочная уплата;

D – сумма долга.

Этот платеж, как наращенная сумма долга, состоит из двух частей:

· возврат основной суммы долга (D );

· выплата процентов по долгу (I ), где I = D (1 + i ) n - D .

В финансовой практике встречаются случаи, когда у кредитора возникает необходимость вернуть часть денег досрочно. В таких случаях возникает риск невозврата, поскольку требуемой суммы на такой момент времени может и не быть.

При значительной сумме долга разовый платеж требует создания так называемого фонда погашения, путем периодических взносов. Фонд погашения аккумулирует денежные средства, направленные на погашение задолженности. Наиболее эффективно размещение фонда погашения с начислением на взносы процентов, например, на специальном счете в банке. Не трудно заметить, что такие платежи по своей сути являются финансовой рентой (аннуитетом), поэтому задача сводится к определению одного из параметров финансовой ренты – члена ренты.

Здесь возможно два варианта.

Первый – выплата процентов по мере их начисления , а основная сумма денег возвращается в конце срока займа.

Если проценты выплачиваются ежегодно, тогда величина срочной уплаты (расходов должника по погашению долга) равна:

где D

q

s n; i

n – срок долга в годах;

i – ставка процентов при создании фонда погашения.

Здесь фигурируют две ставки процентов: i – определяет скорость роста суммы фонда погашения; q – сумму выплачиваемых за заем процентов.

Пример. Долг 100 тыс. долларов выдан под 10% годовых на 3 года, с ежегодной выплатой процентов по долгу. Для погашения суммы долга единовременным платежом создается фонд, куда ежегодно вносятся равные суммы, на которые начисляются проценты по ставке 11%. Найти ежегодные расходы должника.

Решение:

Ежегодные расходы должника составляют величину срочной уплаты:

Y = I + R ,

I = D q = 100"000 0,1 = 10"000 долларов,

Y = 10"000 + 29"921,31 = 39"921,31 долларов.

Таким образом, ежегодные расходы должника по обслуживанию долга составят 39"921,31 долларов.

Однако, более наглядным и эффективным способом планирования долга является составление таблиц, в которых отражают все основные характеристики обслуживания долга:

План погашения долга единовременным платежом с ежегодной выплатой процентов и созданием погасительного фонда

Таким образом, из приведенной таблицы видно, что ежегодные расходы по обслуживанию долга составят 39"921,31 долларов, что в целом за три года составит сумму 119"763,93 долларов, причем выплата процентов за три года 30"000 долларов, а на погашение основного долга в размере 100"000 долларов приходится всего лишь 89"763,93 долларов, т.е. 10"236,07 долларов является набежавшими процентами на размещенные средства в фонде погашения.

Таким образом, создание фонда погашения является необходимым элементом составления плана погашения долга, т.к. позволяет не только снизить риск не возврата денежных средств, но и сократить расходы по обслуживанию суммы долга.

3.1.2. Погашение основной суммы долга и процентов по нему единовременным платежом в конце срока ссуды. Второй вариант погашения долга единовременным платежом состоит в выплате процентов одновременно с погашением долга .

В этом случае взносы в фонд погашения являются одновременно и величиной срочной уплаты (членом финансовой ренты):

где D – первоначальная сумма долга;

q – ставка процентов по условиям займа;

s n; i – коэффициент наращения финансовой ренты;

n – срок долга в годах;

i – ставка процентов при создании погасительного фонда.

Пример. Рассмотрим предыдущий пример, изменив условия: погашение единовременным платежом, как суммы основного долга, так и выплаты процентов.

Решение:

Величина срочной уплаты равна:

Y = [D (1 + q ) n ] : S n; i = 100"000 (1 + 0,11) 3: 3,3421000 = 39"825,26 долларов

Таким образом, величина ежегодных расходов по обслуживанию долга составит 39"825,26 долларов, что несколько меньше аналогичного показателя в предыдущем примере, следовательно, меньше и общая сумма расходов по обслуживанию долга, составляющая величину 119"475,78 долларов.

Для более наглядного представления плана погашения долга здесь также необходимо составление таблицы.

План погашения долга единовременным платежом

Как видно из таблицы, происходит ежегодное увеличение суммы долга за счет присоединения к нему процентов, поэтому к концу срока долг возрастет до 133"100 долларов, из которых выплата процентов составит 33"100 долларов. Однако за счет увеличения размера взносов в погасительный фонд общая величина обслуживания долга уменьшается.

Погашение долга в рассрочку

В практике финансовой деятельности долг часто погашается в рассрочку, т.е. распределенными во времени платежами. При погашении основной суммы долга частями его текущее значение будет уменьшаться и, следовательно, сумма процентных платежей также будет уменьшаться.

Погашение долга частями также может осуществляться различными способами. В зависимости от преследуемых интересов стороны могут выбирать различные, удобные для них режимы в виде постоянных или переменных финансовых рент, а также нерегулярных потоков платежей.

3. 2.1. Погашение основной суммы долга равными частями. Одним из вариантов погашения долга в рассрочку является погашение основной суммы долга равными частями .

При этом величина погашения долга определяется следующим образом:

d t = D: n = const ,

где d t – величина погашения основной суммы долга;

D – первоначальная сумма долга;

n – срок долга в годах;

t – номер года, t = 1, 2, …, n .

Проценты начисляются на уменьшаемую сумму основного долга: I t = D t q ,

где D t – остаток долга на начало очередного года;

q – ставка процентов, начисляемых на сумму долга.

Тогда размер срочной уплаты можно представить как сумму процентов и сумму погашения долга:

Y t = I t + d t ,

где Y t – срочная уплата на конец текущего года.

Пример. Сумма 100 тыс. долларов выдана под 10% годовых на 3 года. Определить величину срочной уплаты при погашении основной суммы долга равными ежегодными частями.

Решение:

Величина суммы погашения долга равна:

d t = D: n = 100"000: 3 = 33"333,33 доллара.

Поскольку величина срочной уплаты при таком способе погашения долга меняется из года в год, то в этом случае без построения плана погашения долга в виде таблицы просто не обойтись.

План погашения основной суммы долга равными частями

Таким образом, общие расходы по обслуживанию долга составили 120 тыс. долларов, из которых 20 тыс. долларов составляют проценты, а 100 тыс. долларов – погашение основной суммы долга.

3.2.2. Погашение долга и процентов по нему равными суммами в течение срока ссуды . Долг также можно погашать в рассрочку равными срочными уплатами , которые включают в себя как погашение основной суммы долга, так и величину процентов по нему:

Y t = I t + d t = const.

При погашении долга в рассрочку величина долга систематически убывает, что приводит к уменьшению процентов и, соответственно, увеличению сумм, идущих на погашение долга, – это так называемое прогрессивное погашение .

Поскольку срочные уплаты равны, то их последовательность представляет собой финансовую ренту, современное значение которой должно быть равно сумме долга.

По формуле для определения размера платежа постоянной годовой финансовой ренты с выплатами в конце периода, размер срочной уплаты равен:

где Y t – величина срочной уплаты;

D – первоначальная сумма долга;

q – процентная ставка на сумму долга;

n – срок долга в годах;

t – номер года, t = 1, 2, …, n .

Пример. Условия предыдущей задачи, но погашение долга предусматривает уплату равными срочными выплатами.

Решение:

Срочная уплата, включающая в себя погашение основной суммы долга и выплату процентов по долгу, равна:

Y t = 100"000,00: 2,486851991 = 40"211,48 долларов.

Отсюда общие расходы по погашению долга равны:

ΣY t = 40"211,48 3 = 120"634,44 доллара.

Таким образом, ежегодные расходы по погашению долга будут составлять 40"211,48 долларов, а за весь срок финансовой операции – 120"634,44 доллара.

При этом варианте погашения долга также возможно построение таблицы.

План погашения долга равными срочными уплатами

Таким образом, общие расходы по обслуживанию долга составляют 120"634,44 долларов, из которых 100 тыс. долларов идут на погашение долга, а 20"634,44 долларов – проценты. В таблице наглядно представлено распределение суммы срочной уплаты на выплату процентов и непосредственное погашение долга.

Потребительский кредит

Частным случаем погашения долга равными срочными уплатами является потребительский кредит, при котором проценты начисляются сразу на всю сумму кредита, а сумма задолженности равномерно погашается на протяжении всего срока кредита. Проценты в потребительском кредите начисляются сразу на всю сумму долга по простой ставке:

I = D n i

Тогда общая сумма расходов по погашению кредита складывается из выплаты процентов и суммы основного долга:

ΣY t = D + I

Следовательно, размер срочной уплаты определяется по формуле:

ΣY t = (D + I ) : (n m ),

где n – срок кредита в годах;

m – количество взносов в течение года.

Пример. Потребительский кредит на сумму 5 тыс. руб. открыт на 2 года по ставке 25% годовых. Погашение кредита равными взносами ежеквартально. Определить стоимость кредита и размер ежеквартальных взносов.

Решение:

Стоимость кредита – это проценты, которые равны:

I = D n i = 5"000 2 0,25 = 2"500 рублей

Общая сумма расходов по обслуживанию кредита равна:

ΣY t = D + I = 5"000 + 2"500 = 7"500 рублей

Ежеквартальные взносы составят величину:

ΣY t = (D + I ) : (n m ) = 7"500: 2 4 = 937,50 рублей

Таким образом, ежеквартальные взносы в размере 937,50 рублей позволяет выплатить сумму долга и выплатить проценты.

Если бы использовалось прогрессивное погашение, т.е. начисление процентов на остаток долга, то это было бы заметно дешевле для должника.

Расчленение величины срочной уплаты в потребительском кредите на процентные платежи и погашение основной суммы долга в мировой практике называется "методом 78". Это связано с тем, что для потребительского кредита сроком 12 месяцев и ежемесячным погашение, сумма порядковых номеров месяцев будет равна 78, что и дало название такому методу начисления процентов.

Это правило можно обобщить для n лет и m платежей в году:

N = m n [(m n + 1) : 2],

где N – сумма последовательных номеров выплат.

Отсюда очень легко расчленить срочную уплату на процентные платежи и сумму погашения основного долга: Y t = I t + d t ,

где I t – процентный платеж;

d t – сумма погашения основного долга.

Тогда величина процентного платежа определяется следующим образом:

I t = I (t / N ),

а сумма погашения основного долга как разница срочной уплаты и процентных выплат:

R t = Y t - I t .

Рассмотрим предыдущий пример, расчленив срочную уплату на составляющие элементы, все данные представив в виде таблицы.

План погашения потребительского кредита

Платеж	t	Долг (D t =D t-1 -R t )	Срочная уплата (Y t )	Проценты [I t =I (t/N) ]	Погашение основной суммы долга (d t =Y t -I t )
		5"000,00	937,50	555,56	381,94
		4"618,06	937,50	486,11	451,39
		4"166,67	937,50	416,67	520,83
		3"645,84	937,50	347,22	590,28
		3"055,56	937,50	277,78	659,72
		2"395,84	937,50	208,33	729,17
		1"666,67	937,50

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1

При открытии счета по ставке простого процента 20% годовых 20.01.2000 на счет положена сумма 5000 рублей. С 01.03.2000 ставка процентов по вкладу 18% годовых. 01.06.2000 на счет положена сумма 10000 рублей. С 01.08.2000 ставка процентов по вкладу 14% годовых. 30.10.2000 счет закрыт. Найти полученную сумму, используя точные и обычные проценты. Решить задачу также с учетом проведения операции реинвестирования 01.05.2000.

Решение:

Изобразим описанную ситуацию на оси времени: отметим даты изменения условий финансовой операции и рассчитаем соответствующие временные промежутки, используя обычные простые проценты.

	20%	18%	18%	14%
20.01	01.03			01.06	01.08			30.10
	40 дн	90 дн	60 дн	90 дн
	+5000				+10000

обычные проценты :

До 01.06 проценты начисляются на сумму 5000 руб, а с 01.06 на сумму 15000 руб.

Определим полученную сумму, используя точные проценты :

Определим полученную сумму, при реинвестировании капитала 01.05.2000, используя обычные проценты:

На оси времени покажем момент реинвестирования.

	20%	18%	18%	14%
20.01	01.03			01.05	01.06		01.08			30.10
	40 дн	60 дн	30 дн	60 дн	90 дн

ЗАДАЧА 2.

Предприятие продало товар, получив вексель номинальной стоимостью $1000, сроком 75 дней и процентной ставкой 15% (проценты не входят в номинальную стоимость). Через 60 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть его в банке; предложена ставка 16%. Рассчитать суммы, получаемые банком и предприятием.

Решение:

Сумма, получаемая банком:

$

Сумма, получаемая предприятием:

ЗАДАЧА 3.

Сложные проценты на вклады начисляются ежеквартально по номинальной ставке 10% годовых. Определить сумму процентов, начисленных на вклад 200 тыс. руб. за 2 года. Найти эффективную ставку.

Решение:

тыс.руб.

Эффективную ставку определим из равенства

Тогда

ЗАДАЧА 4.

Предприятие приобрело здание за $15000 на следующих условиях: а) 30% стоимости оплачивается немедленно; б) оставшаяся часть погашается равными годовыми платежами в течение 8 лет с начислением 15% годовых на непогашенную часть кредита по схеме сложных процентов. Определить общую сумму процентов к выплате. Составить схему погашения.

Решение:

При оплате 30% от стоимости здания начальный долг предприятия будет равен $

Обозначим через А величину годового платежа. Поток этих платежей представляет собой аннуитет постнумерандо, для которого PV pst =$10500, r=15%, n=8 лет. Поэтому для нахождения величины А воспользуемся формулой

Выразив А из уравнения, получим $

Составим схему погашения долга в виде таблицы.

Год	Остаток долга на начало года	Величина годового платежа	В том числе	Остаток долга на конец года
проценты за год	погашенная часть долга
			1460,25	879,75	8855,25
	8855,25		1328,29	1011,713	7843,54
	7843,54		1176,53	1163,469	6680,07
	6680,07		1002,01	1337,99	5342,08
	5342,08		801,31	1538,688	3803,39
	3803,39		570,51	1769,491	2033,90
	2033,90	2338,98	305,08	2033,90
			Σ 8218,98

Как видно из таблицы, общая сумма процентов к выплате составит $8218,98.

ЗАДАЧА 5.

Первоначальный капитал в размере 20 млн. руб. выдается на три года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 8% годовых. Определить барьерную и брутто-ставку, обеспечивающую доходность в 8% годовых, если ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 12%.

Решение:

Зная уровень инфляции Н=12%, определим ее индекс по формуле: I = H + 1

I = 0,12 + 1 = 1,12.

Проценты начисляются по схеме сложного процента 4 раза в год (в конце каждого квартала). Определим покупательную способность наращенной суммы S(T). Для этого поделим ее на индекс инфляции I(T).

Найдем барьерную ставку из уравнения, сохраняющего покупательную способность начальной суммы в условиях инфляции (покупательная способность S(0) сохраниться, если коэффициент наращения будет равен 1):

=

Поскольку длительность операции 3 года, индекс инфляции за этот период I(T)=1,12 3 =1,405. Тогда

Для определения брутто-ставки, обеспечивающей наращение капитала 8% годовых при инфляции, воспользуемся формулой Фишера: , так как предполагается одинаковйй годовой уровень инфляции в течении всего срока операции.

ЗАДАЧА 6

На годовые взносы пренумерандо по $1000 банк каждые полгода в течение 5 лет начисляет ежеквартально проценты по ставке 12% годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?

Решение:

Рента является постоянной, р-срочной, пренумерандо.

Сумму наращенного капитала можно определить из формулы для расчета наращенной суммы аналогичной ренты, только постнумерандо.

Для пренумерандо формула примет вид:

$

ЗАДАЧА 7

Два аннуитета с параметрами:

1.величина платежа - $2000, ставка процента - 8% годовых, срок - 12 лет;

2.величина платежа - $4000, ставка процента - 10% годовых, срок - 10 лет

требуется заменить одним – со сроком 10 лет и процентной ставкой 5% годовых.

Решение:

Определим современную стоимость каждого аннуитета.

$

$

Общая современная стоимость аннуитетов будет равна

Тогда годовой платеж для этого аннуитета с процентной ставкой 5% и сроком 10 лет определим из уравнения

Литература.

1.Ковалев В.В. Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 1999.

2.Финансовый менеджмент/ под ред. Стояновой Е.С. М.: Перспектива,1998.

3.Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ,1999

4.Финансовый менеджмент/ под ред. Стояновой Е.С. М.: Перспектива,1998.

5.Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ,1999

6.Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.:Дело,1992.

Вопросы к экзамену для группы ЭиУПП

1.Понятие модели и моделирования.

2.Классификация моделей по средствам моделирования.

3.Использование средств моделирования в экономических исследованиях.

4.Особенности математического моделирования экономических процессов.

5.Общий вид математических моделей и основные направления их исследования.

6.Оптимизационный подход к исследованию ЭММ.

7.Методы многокритериальной оптимизации.

8.Имитационные эксперименты и имитационные системы.

9.Классификация экономико–математических моделей

10. Простейшая финансовая операция. Ее параметры и их взаимосвязь.

11. Понятие операций наращения и дисконтирования. Антисипативный и декурсивный метод.

12. Наращение по простым декурсивным процентам (понятие простых процентов, различные варианты начисления по простым процентам). Обычные и точные проценты.

13. Наращение по декурсивным сложным процентам. Различные схемы наращения.

14. Сравнение схем наращения по простым и сложным процентам.

15. Эффективная ставка процентов, ее вычисление и применение.

16. Дисконтирование и его виды (понятие операции дисконтирования, виды дисконтирования).

17. Математическое дисконтирование

18. Банковский учет.

19. Понятие потока платежей, параметры потока платежей.

20. Классификация потоков платежей.

21. Вечная рента. Определение современной стоимости вечной ренты.

22. Нахождение наращенной суммы постоянных рент постнумерандо (вывод формулы для любого типа ренты).

23. Нахождение современной стоимости постоянных рент постнумерандо (вывод формулы для любого типа ренты).

24. Ренты пренумерандо. Вычисление наращенной и приведенной стоимости рент пренумерандо. Связь с аналогичными суммами рент постнумерандо.

25. Потоки платежей с неравными поступлениями.

26. Двусторонние потоки платежей и их характеристика (чистая приведенная величина, ставка доходности).

27. Эффективная ставка для простейшей финансовой операции и внутренняя норма доходности.

28. Кредитные расчеты (выплата долга за один раз в конце срока, выплата долга равными суммами)

29. Выплата долга равными срочными уплатами, переменными срочными уплатами

30. Потребительский кредит. Расчеты по потребительскому кредиту.

Вопросы по теме «Эконометрика»

1. Введение в эконометрику.

1. Понятие эконометрики. Области применения эконометрики.

2. Случайные переменные. Генеральная совокупность и выборка. Основные характеристики случайных величин.

3. Понятие связи между переменными. Функциональная и стохастическая связи экономических данных.

4. Основные виды эконометрических моделей.

5. Основные этапы построения эконометрической модели.

6. Исходные данные для построения эконометрической модели.

7. Основные требования к исходным данным.

Модель парной регрессии

1. Модель парной регрессии: описание модели, виды моделей.

2. Сущность метода наименьших квадратов.

3. Понятие статистической значимости результата. Проверка на статистическую значимость.

4. Определение доверительного интервала.

5. Статистическая значимость параметров парной регрессии

6. Интервальные оценки параметров регрессии. Геометрическая интерпретация.

7. Расчет коэффициента детерминации. Оценка качества построенной модели с помощью коэффициента детерминации.

8. Проверка соответствия модели выборочным данным с помощью теста Фишера.

9. Проверка точности модели.

10. Предсказание по линейной модели парной регрессии. Точечный прогноз. Стандартная ошибка точечного прогноза. Интервальный прогноз

Модели временных рядов

1. Понятие временного ряда. Основные требования к данным временных рядов. Основные задачи моделирования временных рядов.

2. Структура временного ряда. Понятие тренда, сезонных и циклических колебаний.

3. Метод Фостера – Стюарта выявления тенденции.

4. Проверка качества модели временного ряда на основе исследования ряда остатков.

5. Критерии проверки случайности ряда остатков: критерий поворотных точек, критерий серий.

6. Понятие автокорреляции. Причины появления автокорреляцию Методы выявления автокорреляции.

7. Критерий Дарбина– Уотсона.

8. Проверка выполнения нормального распределения в случайном ряду.

9. Прогнозирование на основе трендовой модели.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бородич С.А. Эконометрика. Минск.: Новое знание, 2001

2. Д. Джонстон. Эконометрические методы. - М.: Статистика, 1980.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: ИНФРА-М, 1997.

4. Замков О.О., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике. М.: ДИС,1997

5. Лиогонький М.И., Мамаева З.М. Эконометрика.(Учебное пособие). Нижний Новгород:ННГАСУ, 2003 (http://mamaeva.alterxp.com/plog/)

6. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 1997.

7. Мамаева З.М. Эконометрика. Методическое пособие. Нижний Новгород: УРАО, 2004 (http://mamaeva.alterxp.com/plog/)

8. Носко В.П. Эконометрика для начинающих. - М. ИЭПП, 2000 (http://www.iet.ru)/

9. Эконометрика./под ред Елисеевой И.И.. М.:Финансы и статистика, 2001

Литература по финансовым расчетам

1. Ковалев В.В. Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 1999.

2. Финансовый менеджмент/ под ред. Стояновой Е.С. М.: Перспектива,1998.

3. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ,1999

4. Финансовый менеджмент/ под ред. Стояновой Е.С. М.: Перспектива,1998.

5. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ,1999

6. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.:Дело,1992.

Сравните полученные результаты с выплатой долга единовременным платежом.

В условиях финансового кризиса экономия любого рода ресурсов предприятия приобретает первостепенное значение. Одним из таких видов экономии может быть сокращение расходов по обслуживанию долга при взятии кредитов или займов. В первую очередь это касается начисляемых процентов. Например, это можно сделать, если погашать основной долг (тело кредита) в рассрочку, то есть частями. Это особенно эффективно при больших кредитах. Такой метод погашения долга часто называют амортизацией долга.

В данной статье на практических примерах как раз и рассмотрены разные схемы погашения как основного долга, так и всего долга в целом (включая проценты по займу).

Обеспечить своевременное погашение долга позволит план или график (расписание) периодических платежей должника. В этом случае расходы по займу обычно называют расходами по обслуживанию долга или срочными платежами . Причем эти расходы включают как текущие процентные платежи, так и средства, предназначенные для погашения основного долга (тела кредита). В связи с этим выбор метода определения размера срочных платежей зависит от условий предоставления займа, включая способы уплаты процентов и схемы погашения основной суммы долга. Существенно сократить время на составление планов погашения долга по займу может применение аналитики, применяемой для расчета отдельных показателей срочных платежей. В целом схемы погасительных платежей различаются следующим образом:

• погашение основного долга происходит равными суммами (равными долями);
• погашение всей задолженности (вместе с процентами) равными или переменными суммами.

Погашение основного долга равными суммами

При расчетах с кредитором погашение основного долга можно производиться в рассрочку равными суммами в конце каждого года начисления платежей. При этом процентные платежи не равны по периодам по определению (за счет постепенного уменьшения задолженности). Рассмотрим пример.

Пример 1

Пусть долг в сумме 1 млн руб. (D ) необходимо погасить последовательными равными платежами за 5 лет (T ). За заем выплачиваются проценты в конце каждого года по ставке 20 % в год (i ). Размер погашения основного долга (d ) определяется по формуле:

d = D / T .

Для нашего примера:

1 000 000 руб. / 5 лет = 200 000 руб.

Теперь можно определить ежегодные процентные платежи (P ) за 1-й год:

P 1 = D × i .

В нашем случае:

1 000 000 руб. × 0,20 = 200 000 руб.

Для расчета ежегодных процентных платежей за второй год воспользуемся формулой:

P 2 = (D - d ) × i ,

(1 000 000 руб. - 200 000 руб.) × 0,20 = 160 000 руб.

Таблица 1. Погашение основного долга равными частями, руб.
Годы	Остаток долга на начало года	Погашение долга	Проценты	Всего расходов по займу
Итого		1 000 000	6 00 0 00	1 6 00 0 00

Как видим, процентные платежи образуют убывающую арифметическую прогрессию с первым членом P 1 = 200 тыс. руб. и разностью членов ряда d = 40 тыс. руб. Исходя из этого те же расчеты процентных платежей за любой год можно выполнить гораздо быстрее, используя формулу:

P n = P 1 - ((n - 1) × d ),

где n — количество лет погашения займа.

Подсчитаем сумму процентов за 3-й год:

P 3 = 200 000 руб. - ((3 - 1) × 40 000) = 200 000 руб. - 80 000 руб. = 120 000 руб.

P s = D × n × i .

Сумма процентных платежей составит:

1 000 000 руб. × 5 лет × 0,20 = 1 000 000 руб.

Как видно, применение схемы с рассрочкой платежей позволяет сократить сумму процентных платежей на 40 %, а общую сумму всех расходов — на 20 %.

Теперь оценим эффективную ставку процентов, которая давала бы тот же результат, что и при погашении основного долга в конце периода. Для этого приравняем полученный в нашем случае результат (Y s ) к размеру всех расходов при гашении основного долга в конце срока:

Y s = D × (1 + n × i эф),

откуда следует:

При данных значения параметров определим эту ставку:

Полученный результат соответствует тому, как если бы мы гасили основной долг в конце 5 года, но со ставкой 12 % в год. Такой показатель эффективности широко используется в экономических расчетах при сравнении разных условий финансовых сделок.

_________________

Отметим, что положительное свойство рассмотренной схемы погашения долга — простота расчетов. Однако в начале срока погашения процентные платежи, а значит, и все расходы по займу выше, чем в конце периода. Это часто весьма нежелательно для должника. Поэтому рассмотрим другие схемы погашения долга при рассрочке платежей.

В. И. Семенов,
бухгалтер, канд. техн. наук

Материал публикуется частично. Полностью его можно прочитать в журнале