Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются так называемые показатели центра распределения. К ним относятся средняя величина признака, медиана и мода.
Средняя величина является наиболее распространенным статистическим показателем, с помощью которого дается обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Она показывает уровень признака в расчете на единицу совокупности. С помощью средних величин проводится сравнение различных совокупностей по варьирующим признакам, изучаются закономерности развития явлений и процессов общественной жизни.
В статистике применяются два класса средних: степенные (аналитические) и структурные.
К группе степенных средних относят среднюю арифметическую, геометрическую, квадратическую, гармоническую. Индивидуальные формулы для их вычисления можно привести к виду, общему для всех степенных средних, а именно
где m - показатель степенной средней: при m = 1 получаем формулу для
вычисления средней арифметической, при m = 0 - средней
геометрической, m = -1 - средней гармонической, при m = 2 -
средней квадратической;
x - варианты (значения, которые принимает признак);
f - частоты.
Средняя арифметическая вычисляется либо как простая, либо как взвешенная величина.
Расчет средней величины признака в вариационном ряду осуществляется по формуле средней арифметической взвешенной:
При расчете средней величины интервального ряда в качестве вариантов признака используются значения середины интервалов. Для нахождения середины открытых интервалов необходимо их предварительно условно закрыть, т. е. определить недостающую верхнюю и нижнюю границы. Принято считать, что в первой группе величина интервала равна интервалу второй группы, а в последней - интервалу предыдущей.
Мода - значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду модой является вариант с наибольшей частотой (частостью). В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:
Модальный интервал - это интервал, имеющий наибольшую частоту (частость).
Отметим, что вычисления моды в интервальном ряду является весьма условным.
Приближенно модальное значение признака можно определить и графически - по гистограмме. Для этого нужно взять столбец, имеющий наибольшую высоту, и из его левого верхнего угла провести отрезок в верхний угол последующего столбца, а из правого угла - в верхний правый угол предыдущего. Абсцисс точки пересечения отрезков и будет соответствовать модальному значению признака в изучаемой совокупности.
Медиана - вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части, таким образом, что половина единиц совокупности имеют значение признака меньше, чем медиана, а половина - больше, чем медиана. В интервальном ряду медиана определяется по формуле:
Медианный интервал - это интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для его определения необходимо подсчитать сумму накопленных частот (частостей) до числа, превышающего половину объема совокупности.
Медиану приближенно можно определить графически - по кумуляте. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой.
Расчет модального и медианного значений для вариационных рядов с неравными интервалами осуществляется по формулам, аналогичным приведенным выше, только вместо показателей частот (частостей) используются показатели абсолютной или относительной плотности распределения, которые обеспечивают сопоставимость неравных интервалов. Показатели плотности распределения находятся как отношения частот (частостей) к величине интервала:
- - абсолютная плотность распределения
- - относительная плотность распределения
где I - величина интервала.
По соотношению характеристик центра распределения (средней величины, моды и медианы) можно судить о симметричности эмпирического ряда распределения. Симметричным является распределение, в котором частоты двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В симметричном распределение средняя величина, медиана и мода равны между собой:
Если, то имеет место правосторонняя асимметрия, т. е. большая часть единиц совокупности имеет значение изучаемого признака, превышающие модальное значение. На графике распределения правая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута больше, чем левая.
Соотношение характерно для левосторонней асимметрии, при которой большая часть единиц совокупности имеет значение признака ниже модального. На графике распределения левая ветвь вытянута больше, чем правая.
При анализе вариационного ряда важно знать не только направление асимметрии (правосторонняя или левосторонняя), но и ее степень, которая измеряется с помощью коэффициентов асимметрии.
Моду и медиану называют еще структурными средними , поскольку они дают количественную характеристику структуры строение вариационных рядов. К структурным характеристикам относятся и другие порядковые статистики: квартили - делящие ряд на 4 равные части, децили - делящие ряд на 10 частей, перцинтили - на 100 частей и др.
Общая схема расчета децилей следующая:
- 1) поскольку децили отсекают десятые части совокупности, по накопленным частостям определяем интервалы, куда попадают порядковые номера децилей: для первой децили - интервал, где находится вариант, отсекающий 10% совокупности с наименьшими значениями признака; для второй - 20% и т. д.; для девятой децили - интервал, содержащий вариант, отсекающий 90% с наименьшими значениями признака;
- 2) рассчитываем величину децилей по формулам, аналогичным формуле для нахождения медианы. Например, первая и девятая децили находятся по формулам:
где - начала интервалов, где находятся первая и девятая децили;
Величины интервалов, где находятся первая и девятая децили; - общая сумма частот (частостей); - суммы частот (частостей), накопленных в интервалах, предшествующих интервалам, в которых находятся первая и девятая децили.
Соотношение децильных доходов в социальной статистике получило название коэффициента децильной дифференциации доходов населения (К..)
Наиболее общим, а следовательно наиболее фундаментальным, является определение центра распределения согласно принципу симметрии, то есть как такой точки на оси х, слева и справа от которой вероятности появления случайной величины одинаковы и равны 0.5. Такой показатель центра распределения называется медианой. В отличие от других показателей центра, медиана существует у любого распределения. Медиану обычно обозначают как Me.
математическое ожидание , то в качестве меры рассеяния случайной величины используют дисперсию. Дисперсия - это среднее значение квадратов отклонений случайной величины от ее математического ожидания . Дисперсия является вторым центральным моментом распределения.
Если в качестве показателя центра распределения выбрано математическое ожидание , то коэффициент асимметрии рассчитывают, используя третий центральный момент распределения.
Для представления обобщающих показателей, предположим, доходности активов, цен активов или числа финансовых операций , мы используем показатели центра распределения, показатели вариации , показатели скошенности (асимметрии) и показатели эксцесса.
Как видно из табл. 15.2, три показателя, положение центра распределения для рассматриваемого нами примера, различны (среднее значение - 4,724 мода - 6,000 медиана - 5,000). И это неудивительно, поскольку каждый показатель определяет центр распределения по-разному. Какой же показатель использовать Если переменную измеряют по номинальной шкале , то лучше использовать моду. Если переменную измеряют по порядковой шкале , то больше подходит медиана. Если же переменную измеряют по интервальной или относительной шкале , то мода плохо отражает положение центра распределения . Это можно увидеть из табл. 15.2. Хотя значение моды, равное 6,000, отражает наивысшую частоту, оно представляет только 27,6% выборки. Медиана лучше подходит в качестве показателя , характеризующего положение центра распределения , для интервальной или относительной шкалы , хотя и она не учитывает имеющуюся информацию о переменной. Текущие значения переменной до и после медианы игнорируются. Самый лучший показатель для интервальной или относительной шкалы - среднее арифметическое . Он учитывает всю доступную информацию, поскольку для его вычисления используются все значения. Однако среднее арифметическое чувствительно к выбросам значений (экстремально малым или экстремально большим значениям). Если данные содержат выбросы, то среднее не будет хорошим показателем центра распределения и лучше использовать два показателя - среднее и медиану.
Какие показатели центра распределения обычно вычисляют
Из таблицы мы видим, что прибавка в заработной плате , которую давало образование, была невелика, а для некоторых видов образования отсутствовала вовсе. Наилучшим показателем центра распределения являлась в данном случае медиана, а не средняя. Сравнивая медианные заработки, мы можем заметить, что в 1989 г. в России мужчине высшее образование позволяло зарабатывать на 27 руб. в месяц больше, чем мужчине со средним специальным, аналогичная же прибавка у женщин составляла 37 руб. в месяц. Со средним специальным образованием и мужчины, и женщины зарабатывали почти столько же, сколько и со средним общим. Среднее общее образование не принесло женщинам ничего в сравнении с неполным средним, а мужчинам - только 11 руб. в месяц.
Таким образом, при составлении сегментарной отчетности по центрам прибыли наиболее удачным показателем для распределения постоянных общехозяйственных издержек между центрами ответственности (операционных расходов) следует признать прибыль сегментов. Этот метод никак не искажает реальную картину эффективности работы центров ответственности.
Выполненный анализ позволяет сделать следующий вывод при составлении отчетности по центрам прибыли наиболее объективным показателем для распределения операционных затрат организации между ее отдельными сегментами является их прибыль. Этот метод не искажает реальную картину эффективности работы структурных подразделений.
Разумеется, все вышесказанное о соотношении показателей центра, справедливо только для тех распределений, у которых существует мода и/или математическое ожидание . Напомним, что понятие медианы применимо к любому распределению.
Имея представление о точке центра распределения , мы часто хотим знать, как данные рассеяны вокруг нее. Нам предстоит изучить следующие показатели рассеяния (вариации)
Многомерные методы отличаются от одномерных прежде всего тем, что при их использовании центр внимания смещается с уровней (средних показателей) и распределений (дисперсий) явлений и сосредотачивается на степени взаимосвязи (корреляции или ковариации) между этими явлениями . Оба этих вида статистических методов анализа подробно описаны в по-
Сервис неразрывно связан с распределением и представляет собой комплекс услуг, оказываемых в процессе заказа, покупки, поставки и дальнейшего обслуживания продукции. Показатель, характеризующий оценку такого сервиса, принято называть уровнем сервиса обеспечения потребительского спроса . Объектом сервиса являются потребители материального потока производственные предприятия , различные распределительные центры и конечные потребители . Осуществляется сервис либо самим предприятием -производителем, либо некоторым отдельным самостоятельным предприятием , участвующим в производственно -сбытовом процессе и специализирующимся в области сервисного обслуживания материальных потоков . Поэтому в качестве объектов деятельности предприятий выделяются
Рассмотрим затраты, связанные с имуществом (в данном случае служебными помещениями). Несложно определить основополагающую причину таких накладных затрат (ею будет облагаемая налогом стоимость недвижимости) и количественно определить ее величину (это ставка налогового платежа за 1 ф.ст. стоимости недвижимости). Но как использовать эту информацию для распределения затрат по отдельным центрам затрат , размещенным внутри помещений В таких случаях, когда в качестве базы распределения использовать носитель затрат невозможно, вместо него необходимо найти другой показатель, учитывающий характер затрат и доступность информации.
Достоинство общезаводской ставки распределения состоит в простоте ее расчета достаточно совокупные накладные затраты разделить на соответствующий показатель объема деятельности производственных центров затрат . Отпадает необходимость в первичном и вторичном распределении , что позволяет экономить время и средства, а также, возможно, повышает объективность ставки распределения, поскольку не предполагает заведомо произвольного выбора баз распределения/перераспределения по отделам.
Однако на практике возможен и более углубленный подход к составлению отчетов по центрам прибыли . В этом случае отчетность расширяется до показателя операционной прибыли сегментов, рассчитываемой как разность между его валовой прибылью и частью операционных затрат вуза, отнесенной на данный центр прибыли . В нашем примере составление такого отчета предполагает прежде всего распределение операционных расходов вуза (1576 тыс. руб.) между отдельными филиалами, но подобное распределение следует производить весьма осторожно, чтобы не исказить реальные результаты деятельности подразделений.
Необходимо отметить, что показатель остаточный доход до косвенных издержек позволяет достовернее оценить вклад подразделения, чем показатель остаточный доход подразделения, так как он снимает произвольность распределения косвенных издержек, заложенных в производственной себестоимости продукции подразделения (например, в производственную себестоимость продукции центра прибыли могут входить распределенные на основе нормативов или иных принципов затраты обслуживающих и обеспечивающих производственных центров).
Выбор показателя вариации диктуется используемым показателем центра распределения. При применении медианы как меры "средней"
распределение ранжирование вариационный показатель
Среднее значение признаков совокупности, мода и медиана характеризуют центральную тенденцию распределения, указывают тот уровень признака, который является типичным, характерным для данной совокупности. Использование того или иного показателя распределения зависит от типа исходных данных и цели исследования. Поскольку средняя величина рассчитывается на единицу совокупности, но с использованием всех индивидуальных значений признака, она является обобщённой характеристикой всей совокупности.
Формулы расчёта. Средняя арифметическая простая:
где - значение признака у i_ой единицы совокупности, n - объём совокупности.
Медиана-значение признака единицы совокупности стоящий в центре ранжированного ряда.
где - нижняя граница медианного интервала, - величина группировочного интервала, - сумма частот (), - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; - частота медианного интервала.
Мода - это значение показателя вокруг которого концентрируются
значительная часть единицы совокупности, т.е имеют значения близкие к модальному.
Мо= 45+163* (45-0)+(45-10)=136,69
где - нижняя граница модального интервала, - величина группировочного интервала, - частота модального интервала,
/ - частота интервала, предшествующего / следующего за модальным.
Таблица 3
Показатели центра и структуры распределения
В среднем в регионах России оборот малых предприятий за 2011 г.составил 214,52 млрд.руб. В 50% регионов России оборот малых предприятий за 2011 г. составил 142,45 млрд.руб.
Показатели структуры распределения
К показателям структуры, кроме медианы, также относят квартили, которые делят совокупность на четыре части, децили (10 частей) и прочие показатели. Использование тех или иных характеристик зависит от цели исследования и от объёма изучаемой совокупности (с увеличением объёма растёт число групп). В данной работе необходимо подсчитать только медиану и квартили .
Формулы расчёта. Нижний квартиль:
Верхний квартиль:
Таблица 4
Показатели структуры
В среднем в 25% в Регионах России оборот малого бизнеса не привышает 94,1 млрд.руб. и не выше 264,6 млрд.руб.
Показатели вариации
Вариация - различия у индивидуального значения признака изучаемой совокупности. Расчёт показателей центра сопровождается расчётом показателей вариации. Показатели вариации бывают:
Абсолютные (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение);
Относительные (коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации) .
Формулы расчёта. Размах вариации:
где и - максимальное и минимальное значение признака совокупности.
Дисперсия:
где - значение признака у i_ой единицы совокупности, - средняя арифметическая, - частота у i_ой единицы совокупности, - сумма частот ().
Среднее квадратическое (стандартное) отклонение:
Коэффициент вариации:
Таблица 5
Показатели вариации
Размах вариации, разность между максимальным и минимальным значениями совокупности, составляет 816,2 единицы. Дисперсия содержательно не интерпретируется, однако является важнейшим показателем вариации, на основе которого рассчитывается ряд статистических показателей, в том числе и коэффициент вариации, в данном случае равный 0,85%.Коэффициент вариации оценивает степень количественной однородности изучаемой совокупности. В данном случае совокупность не однородна, т.к. коэффициент вариации больше 33%,значит существенна. В среднем величина по регионам России за 2012 г отличалась от среднего на 182,26 величин.
Показатели центра распределения - показывают центры группирования признаков в вариационных рядах распределения. К ним относят среднюю арифметическую, моду и медиану.
Мода? это значение признака, которое наиболее часто встречается в вариационном ряду распределения. В дискретном вариационном ряду распределения мода - это варианта с наибольшей частотой.
В дискретном вариационном ряду распределения, где все варианты встречаются один раз, мода не рассчитывается. В интервальном вариационном ряду распределения с равными интервалами мода рассчитывается по формуле:
где? нижняя граница модального интервала. Модальный интервал - это интервал, который имеет наибольшую частоту;
Величина модального интервала (разность между верхней и нижней границами модального интервала);
Частота модального интервала;
Частота интервала, предшествующего модальному интервалу;
Частота интервала, следующего за модальным интервалом.
Медиана? это значение признака, которое лежит в середине ранжированного вариационного ряда и делит этот ряд на две равные части по числу единиц: одна часть имеет значения признака меньше медианы, а другая больше медианы. Ранжированный ряд - ряд, расположенный в порядке возрастания или убывания значений признака.
В ранжированном дискретном вариационном ряду с 2m+1 случаев, то значение признака у случая m+1 будет медианным. Если в ряду четное число 2m случаев, то медиана равна средней арифметической из двух данных значений.
Формулы для расчета медианы при нечетном числе вариантов:
и при четном числе вариантов:
где - число членов ряда.
В интервальном вариационном ряду с равными интервалами медиана рассчитывается по формуле:
где? нижняя граница медианного интервала. Медианный интервал - это первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину всех частот ряда распределения;
Величина медианного интервала (разность между верхней и нижней границами медианного интервала);
Общее число единиц совокупности;
Накопленная частота до медианного интервала;
Частота медианного интервала.
Моду и медиану можно определить на основе графического изображения ряда распределения. Мода определяется по гистограмме, медиана по кумуляте.
Мода используется при экспертных оценках, при определении наиболее ходовых размеров обуви, одежды, что учитывается при планировании их производства. Медиана используется при статистическом контроле качества продукции и технологического процесса на промышленных предприятиях; при изучении распределения семей по величине дохода и др.
Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются средняя арифметическая, мода и медиана. Общие понятия о средних величинах и их свойствах даны в гл. 5. В данном параграфе рассмотрим расчет показателей центра распределения для вариационных рядов.
Средняя арифметическая рассчитывается по формуле1
где х, - варианты значений признака; ft - частота повторения данного варианта.
*Пример расчета средней арифметической для интервального вариационного ряда приведен в табл\ 6.7. В отличие от средней арифметической, рассчитываемой на базе всех вариантов значений признака, мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду. Медиана (Me) соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером #Ме=где « - число изучаемых единиц.
Используем данные примера, приведенного в табл. 6.1, для определения медианы и моды. Л^ме=-=10,5, т. е. медиана
равна средней арифметической из 10-го и 11-го значений признака. По накопленным частотам определяем, что 10-й и 11-й члены ряда имеют величину признака, равную 4-му разряду, т. е. медиана равна четвертому разряду. Мода (Мо) -наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности - для данного ряда распределения также равна четвертому разряду. В интервальном ряду распределения сразу можно определить интервал, в котором будут находиться мода и медиана. Но для определения их величины используются следующие формулы2:
где хме - нижняя граница медианного интервала; i - величина интервала; 5ме- накопленная частота интервала, предшествующего медианному; /ме - частота медианного интервала.
Используя данные примера, приведенные в табл. 6.2, рассчитаем медиану. По накопленным частотам определяем, что медиана находится в интервале 5,5-6,4 и тогда
Me = 5,5+ 0,9--=6,025 руб.
1 В интервальном вариационном ряду средняя арифметическая определяется
по формуле *= ----, где к! - середина соответствующего интервала.
2 Формула медианы выведена исходя из предположения о том, что плотность внутри интервала остается постоянной.
Формула моды выведена из предположения, что в модальном и двух соседних интервалах кривая распределения представляет собой параболу второго порядка и мода является абсциссой вершины параболы.
.Наибольшая частота соответствует интервалу 5,5-6,4, т. е. мода должна находиться в этом интервале и ее величину определяем по формуле
Мо=*мо+1-7;-т-TTTf-Г~Г "
(/ Мо /-l) + (/ м о /+0
где хмо - начало модального интервала; [мо - частота, соответствующая модальному интервалу; /_i - предмодальная частота; /+1 - послемодальная частота.
Приведенная формула моды может быть использована в вариационных рядах с равными интервалами:
Мо=5,5+0,9 (6_4) + (6^3) =5,86 руб.
Медиану и моду можно определить графически. Медиана определяется по кумуляте (см. рис. 6.3). Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумуля-той. Абсцисса точки пересечения является медианой. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяем прямой с правым углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника- с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (см. рис. 6.2).
Основной характеристикой центра распределения является средняя арифметическая, опирающаяся на всю информацию об изучаемом явлении. Однако в ряде случаев средняя арифметическая должна быть дополнена и даже заменена модальным значением или медианой. Например, в статистическом контроле качества продукции удобнее пользоваться медианой, а не средней арифметической, так как определение медианы для ранжированного ряда данных не требует специального расчета; кроме того, она не чувствительна к крайним значениям данной пробы. В рядах с открытыми интервалами целесообразнее пользоваться в качестве характеристик центра распределения модой и медианой. Еще одним примером использования позиционных средних является применение моды при изучении спроса населения на товары народного потребления (например, на обувь, одежду и т. д.), когда интерес представляет определение модального размера, т. е. размера, пользующегося наибольшим спросом.
Еще по теме 6.4. ПОКАЗАТЕЛИ ЦЕНТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:
- 5.6. Моменты распределения. Показатели формы распределения
- Бюджетный федерализм в видении правительства лишь псевдоним для централизма1 Вопрос распределения средств между центром и регионами должен регулироваться «Программой развития бюджетного федерализма на период до 2005 года»
